Radianes vs Grados

Radianes vs Grados

Bien sabemos que para calcular el perímetro de un círculo, basta con multiplicar el diámetro del círculo por Pi (Aprox: 3.1416), lo que es lo mismo que dos veces el radio por Pi. Esto significa que la longitud del diámetro del círculo cabe Pi veces alrededor de la circunferencia. En otras palabras; si extendieramos el perímetro de un círculo, éste mediría Pi veces el diámetro de dicho círculo.



Sabiendo que Pi diámetros abarcan los 360º de la circunferencia y que el diámetro equivale a dos radios, podemos concluir que 2Pi radios abarcan los mismos 360°. Un radián es el ángulo que abarca un radio a lo largo del perímetro de la circunferencia (Aprox: 57.3 grados).

Conversión de radianes a grados

Si 2Pi radianes equivalen a 360 grados y Pi radianes equivalen a 180 grados, 1 radian será igual a 180 entre su equivalencia en radianes (Pi), esto es igual a 57.2956 grados.

1 radian = 180 / 3.1416 = 57.2956º

La fórmula para convertir x radianes a grados sería:

x * ( 180 / 3.1416 )

Conversión de grados a radianes

Ahora lo que más nos interesa; convertir grados a radianes para poder efectuar funciones trigonométricas en Flash:

La fórmula para convertir x grados a radianes sería:

x * ( 3.1416 / 180 )

Nota: Para efectos prácticos, se utiliza 3.1416 como el valor de Pi, pero siendo un poco más exactos, Pi se aproxima más a 3.1415926.

Las razones trigonométricas en la circunferencia

Las razones trigonométricas en la circunferencia

A continuación se representan gráficamente las razones trigonométricas en una circunferencia de radio 1 (circunferencia goniométrica).

Seno α = AP

Seno:

• Se define sen α = (coordenada vertical de P)/(radio).
  
• Entonces sen α = AP/OP.
  
• Como OP=1, sen α = AP.
  

Coseno α = BP

Coseno:

• cos α = sen (π/2 - α).
  

Tangente α = CD

Tangente:

• Se define tg α = (coordenada vertical de P)/(coordenada horizontal de P).
  
• Entonces tg α = PQ/OQ.
  
• Se prolonga OP hasta cortar en D a la recta tangente a la circunferencia en C.
  
• Por el teorema de Tales, PQ/OQ = CD/OC.
  
• Como OC = 1, tg α = CD.
  

Cosecante α = OH

Cosecante:

• cosec α = sec(π/2 - α).
  

Secante α = OG (fig 1 - sec)

Secante:

• Se define sec α = 1/cos α .
  
• El teorema del cateto dice que un cateto al cuadrado es igual al producto de su proyección sobre la hipotenusa por la propia hipotenusa.
  
• En el triángulo rectángulo OGP de la figura de abajo (fig 2 - sec), se tiene entonces que OP2 = OQ·OG.
  
• Como OP = 1 y OQ = cos α , se tiene que 1 = cosα·OG.
  
• Entonces 1/cosα = OG, es decir, que sec α = OG.
  

Cotangente α = EF

Cotangente:

• cotg α = tg (π/2 - α).
  

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Debemos comentar que estas funciones y otras más son una de las principales bases en la trigonometría y en la geometría. Cada una es la longitud de un lado dividida entre la longitud de otro.

Aqui estan las funciones básicas:

Seno de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno de un ángulo como la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Tangente de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto y el contiguo.

Aqui sus "derivados":

Cosecante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, de ahí se deduce que la consecante es 1 entre el seno.
Secante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo, es 1 entre el coseno.
Cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto contiguo y el cateto opuesto, es 1 entre la tangente.

Es muy facil aprenderlo si te das cuenta, tal en el orden arriba, las definiciones de "derivados" son la inversa de las "básicas".



De las definiciones anteriores se deduce que:

Funciones Seno y Coseno

Funciones Seno y Coseno

En términos matematicos: La fórmula nos dice que el seno (sen o sin) del ángulo a de un triángulo rectángulo es el resultado de dividir el cateto opuesto (B) al ángulo a entre la hipotenusa (C), y el coseno (cos) es el resultado de dividir el cateto adyacente al ángulo a (A) sobre la hipotenusa (C).



De esta manera suena muy complicado. Ahora calculemos la coordenada de intersección entre una circunferencia y una línea recta que parte desde el centro de dicha circunferencia.

Detalladamente: primero necesitamos una circunferencia de 1 unidad de radio, a esta circunferencia se le llama circunferencia goniométrica o unitaria. Segundo; a partir del centro de dicha circunferencia trazamos una línea recta de ángulo conocido hasta que dicha línea se cruce con el círculo. La coordenada del punto de intersección nos permite obtener el seno y el coseno del ángulo en que se trazó la línea. El seno corresponde a la ordenada Y y el coseno a la ordenada X.



De la imagen anterior, podemos decir que la coordenada de intersección de un ángulo de 60º y la circunferencia son 0.5 y 0.86 para X y Y respectivamente, lo que es igual a (0.5, 0.86) y (-0.86, 0.5) para un ángulo de 150º. Con esto podemos concluir que el seno de un ángulo de 60º es aproximado a 0.86 y su coseno a 0.5, y que el seno y coseno de un ángulo de 150º serán aproximados a 0.5 y -0.86 respectivamente.

Ya que el seno corresponde a ordenadas Y, podemos decir que será positivo cuando la intersección se encuentre en los cuadrantes superiores (mitad superior del círculo) y negativo en los cuadrantes inferiores. Como el coseno corresponde a la ordenada X; el resultado será positivo cuando la intersección se encuentre en los cuadrantes de la derecha y negativo en los cuadrantes de la izquierda. El coseno de 150º es negativo porque la intersección se encuentra en los cuadrantes negativos para X.

La siguiente imágen representa la ordenada de intersección en Y de una línea proyectada cada 10 grados, desde 0º hasta 270º en sentido de las manecillas de un reloj. Dicha gráfica representa el seno (ordenada Y) de cada ángulo, la cual representa una gráfica de movimiento ondulatorio.